円周率

円周率（えんしゅうりつ、英: Pi、独: Kreiszahl、中: 圓周率）とは、円の直径に対する円周の長さの比率のことをいい^[1]、数学定数の一つである。通常、円周率はギリシア文字である $π$ ^{[注 1]}で表される。円の直径から円周の長さや円の面積を求めるときに用いる^[1]。また、数学をはじめ、物理学、工学といった科学の様々な理論の計算式にも出現し、最も重要な数学定数とも言われる^[4]。

円周率は無理数であり、超越数でもある。

円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・クーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは小数点以下35桁まで計算した^[5]。小数点以下35桁までの値は次の通りである。

\pi =3.14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\ldots

基礎

表記と呼び方

円周率を表すギリシア文字 $π$ は、ギリシア語でいずれも周辺・円周・周を意味する περίμετρος^[6]^[7]（ペリメトロス）あるいは περιφέρεια^[8]（ペリペレイア）の頭文字から取られた^{[注 2]}。文字 $π$ をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円周の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 $R$ の円周の長さとして用いた^[9]。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより（現代と同じく）円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった^[6]^[9]。日本では「パイ」と発音する^[7]。

数 $π$ を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率（圓周率）」、ドイツの「Kreiszahl」（Kreis は円（周）、Zahl は数の意）の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」（英: Archimedes' constant）、「ルドルフ数」（英: Ludolph's constant、独: Ludolphsche Zahl）などがある。一般にドイツ語を除くヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない^[7]^[10]。

なお、「 $π$ 」の字体は、表示環境によってはキリル文字の п に近い π などと表示されることがある。また、ギリシャ文字「 $π$ 」は、円周率とは無関係に、素数計数関数や、基本群・ホモトピー群、ある種の写像（射影など）を表すのに用いられることもある。

定義

平面幾何学において、円周率 $π$ は、円の周長の直径に対する比率として定義される。すなわち、円の周長を $C$ , 直径を $d$ としたとき、

\pi ={\frac {C}{d}}

である。全ての円は互いに相似なので、この比率は円の大きさに依らず一定である。

ところが、この定義は円の周長を用いているため、曲線の長さを最初に定義していない解析学などの分野では、 $π$ が現れる際に問題となることがある。この場合、円の周長に言及せず、解析学などにおける性質の一つを $π$ の定義とすることが多い^[11]。この際の $π$ の定義の一般なものとして、三角関数 $cos x$ が $0$ を取るような $x > 0$ の最小値の2倍とするもの、級数による定義、定積分による定義などがある。後述の#円周率に関する式も参照。

歴史

→「円周率の歴史」も参照

円に内接する正多角形による

π

の近似

円に内接・外接する正多角形による

π

の近似。アルキメデスによる計算。

古代

円周の直径に対する比率は円の大きさに依らず一定であり、それは 3 より少し大きい^{[注 3]}ことは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシアの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 $r$ の円板の面積が $πr 2$ であることも知られていた。さらに、アルキメデスは正 $96$ 角形を用いて半径 $r$ の球の体積が $4 / 3 πr 3$ であることや、この球の表面積が $4 πr 2$ （その球の大円による切り口の面積の4倍）であることを導き出した。

円周率を小数で最初に記述したのは小数を発明した中国である。263年に魏の劉徽が3072角形を使用し3.14159と計算し、5世紀に祖沖之が十尺もの直径の円を使用して3.1415926< $π$ <3.1415927 と求め、以後1000年間、全世界でこれ以上正確な計算はなされなかった。祖の計算が正確であったことは、1300年頃に趙友欽が16384辺の内接多角形により確かめた^[12]。

近代まで

[1]

[注 1]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[注 2]

[9]

[10]

[11]

[注 3]

[12]

月日	03月14日(月)
日の出/入	06:06(出)				17:59(入)
時	3	6	9	12	15	18	21	24
天気	雨	晴れ	晴れ	晴れ	晴れ	曇り	曇り	曇り
雲量	---	---	---	---	---	---	---	---
雲底高度	---	---	---	---	---	---	---	---
気温(℃)	朝までの最低気温 11.9℃				最高気温 21.8℃

	12.7	12.1	15.3	19.9	21.1	19.0	16.0	15.5
湿度(%)	87	90	73	48	46	52	67	69
露点温度(℃)	10.6	10.5	10.5	8.6	9.0	8.9	9.9	9.9
3時間降水量 (mm)
3時間降水量 (mm)	---	---	---	---	---	---	---	---
現地気圧(hPa) (変化量)	1011.2	1011.6	1013.0	1011.3	1009.8	1009.0	1008.9	1007.3
現地気圧(hPa) (変化量)	(-0.5)	(+0.4)	(+1.4)	(-1.7)	(-1.5)	(-0.8)	(-0.1)	(-1.6)
海面気圧(hPa)	1013.3	1013.7	1015.1	1013.3	1011.8	1011.0	1011.0	1009.4
風向(16方位)	西北西	北北東	西北西	西北西	西	西	北北西	東
風速(m/s)	3	2	3	4	4	1	2	2
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